Функция у синус х ее свойства. Синус (sin x) и косинус (cos x)

Мы выяснили, что поведение тригонометрических функций, и функции у = sin х в частности, на всей числовой прямой (или при всех значениях аргумента х ) полностью определяется ее поведением в интервале 0 < х < π / 2 .

Поэтому прежде всего мы построим график функции у = sin х именно в этом интервале.

Составим следующую таблицу значений нашей функции;

Отмечая соответствующие точки на плоскости координат и соединяя их плавной линией, мы получаем кривую, представленную на рисунке

Полученную кривую можно было бы построить и геометрически, не составляя таблицы значений функции у = sin х .

1.Первую четверть окружности радиуса 1 разделим на 8 равных частей.Ординаты точек деления окружности представляют собой синусы соответствующих углов.

2.Первая четверть окружности соответствует углам от 0 до π / 2 . Поэтому на оси х возьмем отрезок и разделим его на 8 равных частей.

3.Проведем прямые, параллельные оси х , а из точек деления восставим перпендикуляры до пересечения с горизонтальными прямыми.

4.Точки пересечения соединим плавной линией.

Теперь обратимся к интервалу π / 2 < х < π .
Каждое значение аргумента х из этого интервала можно представить в виде

x = π / 2 + φ

где 0 < φ < π / 2 . По формулам приведения

sin ( π / 2 + φ ) = соsφ = sin ( π / 2 - φ ).

Точки оси х с абциссами π / 2 + φ и π / 2 - φ симметричны друг другу относительно точки оси х с абсциссой π / 2 , и синусы в этих точках одинаковы. Это позволяет получить график функции у = sin х в интервале [ π / 2 , π ] путем простого симметричного отображения графика этой функции в интервале относительно прямой х = π / 2 .

Теперь, используя свойство нечетности функции у = sin х,

sin (- х ) = - sin х ,

легко построить график этой функции в интервале [- π , 0].

Функция у = sin х периодична с периодом 2π ;. Поэтому для построения всего графика этой функции достаточно кривую, изображенную на рисунке, продолжить влево и вправо периодически с периодом 2π .

Полученная в результате этого кривая называется синусоидой . Она и представляет собой график функции у = sin х.

Рисунок хорошо иллюстрирует все те свойства функции у = sin х , которые раньше были доказаны нами. Напомним эти свойства.

1) Функция у = sin х определена для всех значений х , так что областью ее определения является совокупность всех действительных чисел.

2) Функция у = sin х ограничена. Все значения, которые она принимает, заключены в интервале от -1 до 1, включая эти два числа. Следовательно, область изменения этой функции определяется неравенством -1< у < 1. При х = π / 2 + 2kπ функция принимает наибольшие значения, равные 1, а при х = - π / 2 + 2kπ - наименьшие значения, равные - 1.

3) Функция у = sin х является нечетной (синусоида симметрична относительно начала координат).

4) Функция у = sin х периодична с периодом 2π .

5) В интервалах 2nπ < x < π + 2nπ (n - любое целое число) она положительна, а в интервалах π + 2kπ < х < 2π + 2kπ (k - любое целое число) она отрицательна. При х = kπ функция обращается в нуль. Поэтому эти значения аргумента х (0; ±π ; ±2π ; ...) называются нулями функции у = sin x

6) В интервалах - π / 2 + 2nπ < х < π / 2 + 2nπ функция у = sin x монотонно возрастает, а в интервалах π / 2 + 2kπ < х < 3π / 2 + 2kπ она монотонно убывает.

Cледует особо обратить внимание на поведение функции у = sin x вблизи точки х = 0 .

Например, sin 0,012 ≈ 0,012; sin (-0,05) ≈ -0,05;

sin 2° = sin π 2 / 180 = sin π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Вместе с тем следует отметить, что при любых значениях х

| sin x | < | x | . (1)

Действительно, пусть радиус окружности, представленной на рисунке, равен 1,
a / AОВ = х .

Тогда sin x = АС. Но АС < АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол х . Длина этой дуги равна, очевидно, х , так как радиус окружности равен 1. Итак, при 0 < х < π / 2

sin х < х.

Отсюда в силу нечетности функции у = sin x легко показать, что при - π / 2 < х < 0

| sin x | < | x | .

Наконец, при x = 0

| sin x | = | x |.

Таким образом, для | х | < π / 2 неравенство (1) доказано. На самом же деле это неравенство верно и при | x | > π / 2 в силу того, что | sin х | < 1, а π / 2 > 1

Упражнения

1.По графику функции у = sin x определить: a) sin 2; б) sin 4; в) sin (-3).

2.По графику функции у = sin x определить, какое число из интервала
[ - π / 2 , π / 2 ] имеет синус, равный: а) 0,6; б) -0,8.

3. По графику функции у = sin x определить, какие числа имеют синус,
равный 1 / 2 .

4. Найти приближенно (без использования таблиц): a) sin 1°; б) sin 0,03;
в) sin (-0,015); г) sin (-2°30").

На этом уроке мы подробно рассмотрим функцию у = sin х, ее основные свойства и график. В начале урока дадим определение тригонометрической функции у = sin t на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока решим несколько простейших задач с использованием графика функции и ее свойств.

Тема: Тригонометрические функции

Урок: Функция y=sinx, её основные свойства и график

При рассмотрении функции важно каждому значению аргумента поставить в соответствие единственное значение функции. Этот закон соответствия и называется функцией.

Определим закон соответствия для .

Любому действительному числу соответствует единственная точка на единичной окружности У точки есть единственная ордината, которая и называется синусом числа (рис. 1).

Каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.

Из определения синуса вытекают очевидные свойства.

На рисунке видно, что т.к. это ордината точки единичной окружности.

Рассмотрим график функции . Вспомним геометрическую интерпретацию аргумента. Аргумент - это центральный угол, измеряемый в радианах. По оси мы будем откладывать действительные числа или углы в радианах, по оси соответствующие значения функции.

Например, угол на единичной окружности соответствует точке на графике (рис. 2)

Мы получили график функции на участке Но зная период синуса мы можем изобразить график функции на всей области определения (рис. 3).

Основным периодом функции является Это значит, что график можно получить на отрезке а затем продолжить на всю область определения.

Рассмотрим свойства функции :

1) Область определения:

2) Область значений:

3) Функция нечетная:

4) Наименьший положительный период:

5) Координаты точек пересечения графика с осью абсцисс:

6) Координаты точки пересечения графика с осью ординат:

7) Промежутки, на которых функция принимает положительные значения:

8) Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения:

9) Промежутки возрастания:

10) Промежутки убывания:

11) Точки минимума:

12) Минимум функции:

13) Точки максимума:

14) Максимум функции:

Мы рассмотрели свойства функции и её график. Свойства неоднократно будут использоваться при решении задач.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред.

А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Дополнительные веб-ресурсы

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().

Тема: Тригонометрические функции

Урок: Функция y=sinx, её основные свойства и график

Определим закон соответствия для .

Каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.

Из определения синуса вытекают очевидные свойства.

На рисунке видно, что т.к. это ордината точки единичной окружности.

Например, угол на единичной окружности соответствует точке на графике (рис. 2)

Рассмотрим свойства функции :

1) Область определения:

2) Область значений:

3) Функция нечетная:

4) Наименьший положительный период:

5) Координаты точек пересечения графика с осью абсцисс:

6) Координаты точки пересечения графика с осью ординат:

7) Промежутки, на которых функция принимает положительные значения:

8) Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения:

9) Промежутки возрастания:

10) Промежутки убывания:

11) Точки минимума:

12) Минимум функции:

13) Точки максимума:

14) Максимум функции:

Мы рассмотрели свойства функции и её график. Свойства неоднократно будут использоваться при решении задач.

Список литературы

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

Домашнее задание

А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Дополнительные веб-ресурсы

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().

Видеоурок «Функция y = sinx, ee свойства и график» представляет наглядный материал по данной теме, а также комментарии к нему. В ходе демонстрации рассматривается вид функции, ее свойства, подробно расписывается поведение на различных отрезках координатной плоскости, особенности графика, описывается пример графического решения тригонометрических уравнений, содержащих синус. С помощью видеоурока учителю легче сформировать понятие у ученика о данной функции, научить решать задачи графическим способом.

В видеоуроке применяются средства, с помощью которых облегчается запоминание и понимание учебной информации. В представлении графиков и при описании решении задач используются анимационные эффекты, которые помогают понять поведение функции, представить ход решения последовательно. Также озвучивание материала дополняет его важными комментариями, которые заменяют объяснение учителя. Таким образом, данный материал может применяться и как наглядное пособие. И в качестве самостоятельной части урока вместо объяснения учителя по новой теме.

Демонстрация начинается с представления темы урока. Представляется функция синус, описание которой выделено в рамку для запоминания - s=sint, в которой аргумент tможет быть любым действительным числом. Описание свойств данной функции начинается с области определения. Отмечается, что областью определения функции является вся числовая ось действительных чисел, то есть D(f)=(- ∞;+∞). В качестве второго свойства выделяется нечетность функции синуса. Ученикам напоминается, что данное свойство изучалось в 9 классе, когда отмечалось, что для нечетной функции выполняется равенство f(-x)=-f(x). Для синуса подтверждение нечетности функции демонстрируется на единичной окружности, разбитой на четверти. Зная, какой знак принимает функция в разных четвертях координатной плоскости, отмечается, что для аргументов с противоположными знаками на примере точек L(t) и N(-t) для синуса выполняется условие нечетности. Поэтому s=sint - нечетная функция. Это означает симметричность графика функции относительно начала координат.

Третье свойство синуса демонстрирует промежутки возрастания и убывания функции. В нем отмечается, что на отрезке данная функция возрастает, на отрезке [π/2;π] убывает. Свойство демонстрируется на рисунке, на котором изображена единичная окружность и при движении от точки А против часовой стрелки ордината растет, то есть возрастает значение функции до π/2. При движении от точки В до С, то есть при изменении угла от π/2 до π значение ординаты уменьшается. В третьей четверти окружности при движении от точки С до точки Dордината убывает от 0 до -1, то есть значение синуса убывает. В последней четверти при движении от точки Dдо точки А значение ординаты возрастает от -1 до 0. Таким образом можно сделать общий вывод о поведении функции. На экране отображается вывод, что sint возрастает на отрезке [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], убывает на отрезке [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] для любого целого k.

Четвертое свойство синуса рассматривает ограниченность функции. Отмечается, что функция sint является ограниченной и сверху, и снизу. Ученикам напоминается сведения из алгебры 9 класса, когда они познакомились с понятием ограниченности функции. На экран выводится условие ограниченной сверху функции, для которой существует некоторое число, для которого выполняется неравенство f(x)>=М в любой точке функции. Также напоминается условие ограниченной снизу функции, для которой существует число m, меньшее каждой точки функции. Для sint выполняется условие -1<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

В пятом свойстве рассматривается наименьшее и наибольшее значения функции. Отмечается достижение наименьшего значения -1 в каждой точке t=-(π/2)+2πk, а наибольшего - в точках t=(π/2)+2πk.

На основе рассмотренных свойств производится построение графика функции sint на отрезке . Для построения функции используются табличные значения синуса соответствующих точках. На координатной плоскости отмечаются координаты точек π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Отметив табличные значения функции в данных точках и соединив их плавной линией, строим график.

Для построения графика функции sint на отрезке [-π;π] используется свойство симметрии функции относительно начала координат. На рисунке видно, как полученная в результате построения линия плавно переносится симметрично относительно начала координат на отрезок [-π;0].

Используя свойство функции sint, выраженное в формуле приведения sin(х+2π)= sin х, отмечается, что через каждые 2π график синуса повторяется. Таким образом, на отрезке [π; 3π] график будет такой же, как на [-π;π]. Таким образом, график данной функции представляет собой повторяющиеся фрагменты [-π;π] на всей области определения. Отдельно отмечено, что такой график функции называется синусоидой. Также вводится понятие волны синусоиды - фрагмента графика, построенного на отрезке [-π;π], и арки синусоиды, построенной на отрезке . Данные фрагменты еще раз демонстрируются для запоминания.

Отмечается, что функция sint является непрерывной функцией на всей области определения, а также, что область значений функции заключается в множестве значений отрезка [-1;1].

В конце видеоурока рассматривается графическое решение уравнения sin х=х+π. Очевидно, что графическим решением уравнения будет пересечение графика функции, данной выражением в левой части и функции, данной выражением в правой части. Для решения задачи строится координатная плоскость, на которой очерчивается соответствующая синусоида у=sin х, а также строится прямая, соответствующая графику функции у=х+π. Построенные графики пересекаются в единственной точке В(-π;0). Поэтому х=-π и будет решением уравнения.

Видеоурок «Функция y = sinx, ee свойства и график» поможет повысить эффективность урока традиционного урока математики в школе. Также использовать наглядный материал можно при выполнении дистанционного обучения. Пособие может помочь освоить тему ученикам, которым требуются дополнительные занятия для более глубокого понимания материала.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Тема нашего занятия «Функция у = sin x, ее свойства и график».

Ранее мы уже познакомились с функцией s = sin t, где tϵR (эс равно синус тэ, где тэ принадлежит множеству действительных чисел). Изучим свойства этой функции:

СВОЙСИВО 1.Область определения - множество действительных чисел R (эр), то есть D(f) = (- ; +) (дэ от эф представляет промежуток от минус бесконечности до плюс бесконечности).

СВОЙСТВО 2. Функция s = sin t является нечетной.

На уроках в 9 классе мы изучили, что функция у = f (x), х ϵХ (игрек равно эф от икс, где икс принадлежит множеству икс большое) называется нечетной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство

f (- x) = - f (x)(эф от минус икс равно минус эф от икс).

А так как ординаты у симметричных относительно оси абсцисс точек L и N противоположны, то sin(- t) = -sint.

То есть s = sin t - нечетная функция и график функции s = sin t симметричен относительно начала координат в прямоугольной системе координат tOs (тэ о эс).

Рассмотрим СВОЙСТВО 3. На отрезке [ 0; ] (от нуля до пи на два) функция s = sin t возрастает, а убывает на отрезке [; ](от пи на два до пи).

Это хорошо видно по рисункам: при движении точки по числовой окружности от нуля до пи на два (от точки А до В)ордината постепенно увеличивается от 0 до 1, а при движении от пи на два до пи (от точки В до С) ордината постепенно уменьшается от 1 до 0.

При движении точки по третьей четверти (от точки С до точки D) ордината движущейся точки уменьшается от нуля до минус единицы, а при движении по четвертой четверти -- ордината увеличивается от минус единицы до нуля. Поэтому можно сделать общий вывод: функция s = sin t возрастает на отрезке

(от минус пи на два плюс два пи ка до пи на два плюс два пи ка), а убывает на отрезке [; (от пи на два плюс два пи ка до трех пи на два плюс два пи ка), где

(ка принадлежит множеству целых чисел).

СВОЙСТВО 4. Функция s = sin t ограничена сверху и снизу.

Из курса 9 класса вспомним определение ограниченности: функция у = f (x) называется ограниченной снизу, если все значения функции не меньше какого-то числа m m такое, что для любого значения х из области определения функции выполняется неравенство f (x) ≥ m (эф от икс больше либо равно эм). Функция у = f (x) называется ограниченной сверху, если все значения функции не больше какого-то числа М , это значит, что существует число М такое, что для любого значения х из области определения функции выполняется неравенство f (x) ≤ М (эф от икс меньше либо равно эм).Функция называется ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху.

Вернемся к нашей функции: ограниченность следует из того, что для любого тэ верно неравенство - 1 ≤ sint≤ 1.(синус тэ больше либо равно минус единице, но меньше либо равно единице).

СВОЙСТВО 5. Наименьшее значение функции равно минус одному и функция достигает этого значения в любой точке вида t = (тэ равно минус пи на два плюс два пи ка, а наибольшее значение функции равно одному и достигается функцией в любой точке вида t = (тэ равно пи на два плюс два пи ка).

Наибольшее и наименьшее значение функции s = sin t обозначают s наим. и s наиб. .

Используя полученные свойства, построим график функции у = sin х (игрек равно синус икс), потому что нам привычнее запись у = f (x) , а не s = f (t).

Для начала выберем масштаб: по оси ординат единичный отрезок возьмем две клетки, а по оси абсцисс две клетки - это пи на три (т.к. ≈ 1). Сначала Построим график функции у = sin х на отрезке . Нам нужна таблица значений функции на этом отрезке, для её построения воспользуемся таблицей значений для соответствующих углов косинуса и синуса:

Таким образом, чтобы построить таблицу значений аргумента и функции необходимо помнить, что х (икс) это число соответственно равное углу на промежутке от нуля до пи , а у (игрек)значение синуса этого угла.

Отметим эти точки на координатной плоскости. Согласно СВОЙСТВУ 3 на отрезке

[ 0; ] (от нуля до пи на два) функция у = sin х возрастает, а убывает на отрезке [; ](от пи на два до пи) и соединив плавной линией полученные точки, получим часть графика.(рис.1)

Используя симметрию графика нечетной функции относительно начала отсчета, получим график функции у = sin х уже на отрезке

[-π; π ] (от минус пи до пи).(рис. 2)

Вспомним, что sin(x + 2π)= sinx

(синус от икс плюс два пи равен синусу икс). Это значит, что в точке x + 2π функция у = sin х принимает то же значение, что и в точке х. А так как (x + 2π)ϵ [π; 3π ](икс плюс два пи принадлежит отрезку от пи до трех пи), если хϵ[-π; π ], то на отрезке[π; 3π ] график функции выглядит точно так же, как и на отрезке [-π; π ]. Аналогично, на отрезках , , [-3π; -π ] и так далее график функции у = sin х выглядит так же, как на отрезке

[-π; π ].(рис.3)

Линию, которая является графиком функции у = sin х, называют синусоидой. Часть синусоиды, изображенной на рисунке 2, называют волной синусоиды, а на рисунке 1 называют аркой синусоиды или полуволной.

Используя построенный график, запишем еще несколько свойств данной функции.

СВОЙСТВО 6. Функция у = sin х является непрерывной функцией. Это значит, что график функции сплошной, то есть не имеет скачков и проколов.

СВОЙСТВО 7. Областью значений функции у = sin х является отрезок [-1; 1] (от минус единицы до единицы) или это можно записать так: (е от эф равно отрезку от минус единицы до единицы).

Рассмотрим ПРИМЕР. Решить графически уравнение sin х = х + π(синус икс равно икс плюс пи).

Решение. Построим графики функций у = sin х и у = х + π .

Графиком функции у = sin х является синусоида.

у = х + π - это линейная функция, графиком которой является прямая, проходящая через точки с координатами (0; π) и (- π ; 0) .

Построенные графики имеют одну точку пересечения - точку В(- π;0) (бэ с координатами минус пи, ноль). Это значит, что у данного уравнения только один корень - абсцисса точки В - -π. Ответ: х = - π.

Тема: Тригонометрические функции

Урок: Функция y=sinx, её основные свойства и график

Определим закон соответствия для .

Каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.

Из определения синуса вытекают очевидные свойства.

На рисунке видно, что т.к. это ордината точки единичной окружности.

Например, угол на единичной окружности соответствует точке на графике (рис. 2)

Рассмотрим свойства функции :

1) Область определения:

2) Область значений:

3) Функция нечетная:

4) Наименьший положительный период:

5) Координаты точек пересечения графика с осью абсцисс:

6) Координаты точки пересечения графика с осью ординат:

7) Промежутки, на которых функция принимает положительные значения:

8) Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения:

9) Промежутки возрастания:

10) Промежутки убывания:

11) Точки минимума:

12) Минимум функции:

13) Точки максимума:

14) Максимум функции:

Мы рассмотрели свойства функции и её график. Свойства неоднократно будут использоваться при решении задач.

Список литературы

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

Домашнее задание

А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Дополнительные веб-ресурсы

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().

Читайте также