Пусть некоторая динамическая система задана уравнениями Решение данной системы при t → ∞ не всегда задается состоянием равновесия. Так, например, при условии получения мнимых корней соответствующего характеристического уравнения поведение системы характеризуется как незатухающие колебания с постоянной амплитудой, то есть решением являются функции x(t+T)=x(t) , y(t+T)=y(t) . В данном случае говорят, что в системе существует устойчивый предельный цикл . Типичная картина поведения решений в окрестности предельного цикла представлена на рис. 1
Рисунок 1 - Устойчивый предельный цикл Фазовые траектории изнутри и извне «наматываются» на цикл. независимо от исходных данных в системе будут происходить колебания с постоянными амплитудой и частотой - так называемые автоколебания . Типы предельных циклов :

• Устойчивые - близкие траектории «навиваются» на цикл при t → ∞ (рис. 2);
• Полустойкие - траектории, находящиеся по одну сторону от цикла - «навиваются» на него при t → ∞ , а те, что находятся по другую сторону - «отходят» от цикла (рис. 3);
• Неустойчивые - близкие траектории «отходят» от цикла при t → ∞ (рис. 4).

Рис. 2 - Устойчивые циклы. Рис. 3 - Полустойкие. Рис. 4 - Неустойчивые К сожалению, обобщенных эффективных методов определения устойчивости предельных циклов не существует. Один из них основан на использовании функции подражания.

Функция подражания

Идея построения функции подражания состоит в следующем. Проводится луч, что явно пересекает предельный цикл и близкие траектории. Например, проведем луч ОА , исходящего из особой точки О , которая лежит внутри предельного цикла (рис. 5). Введем координату r вдоль этого луча. Рассмотрим траекторию, выходящую из точки А , принадлежащей лучу. Пусть эта траектория впервые пересекает луч в точке В . Введем функцию r B = f(r A) , которая каждой точке с координатой r A ставит в соответствие координату точки В . Пусть r n - координата n -го пересечения траектории с лучом. Тогда r n+1 =f(r n) , а предельном циклу соответствует неподвижная точка этого отображения r* = f(r*) . Если r n → r* для всех r i , принадлежащих окрестности r* , то предельный цикл будет устойчивым. Рисунок 5 - Построение функции подражания Идея построения функции подражания оказалась очень плодотворной для исследования нелинейных систем, особенно высшего порядка (размерность фазового пространства N>2 ). Обобщение описанного подхода носит название метода сечений Пуанкаре . При этом, переходя к системам с большим количеством измерений, вместо луча ОА следует рассматривать некоторую гиперплоскость. Например, в трехмерном случае рассматривают точки Р0, Р1, Р2, ..., Рn как сечения траектории с плоскостью S (рис. 6). Преобразования, что переводят точку в следующую, называется отображением Пуанкаре : Р n + 1 = Т(P n) Рисунок 6 - Схематическое изображение сечения Пуанкаре Метод сечений Пуанкаре упрощает исследования непрерывных динамических систем по крайней мере по трем причинам:

• Количество фазовых переменных уменьшается на единицу;
• Дифференциальные уравнения заменяются разностными уравнениями вида x i (k + 1) = f (x i (k)), i = 1,2, ..., N, которые значительно легче поддаются исследованию;
• Резко сокращается количество данных, подлежащих обработке, так как почти всеми точками на траектории можно пренебречь.

Кроме того, многие системы дифференциальных уравнений порождают схожие отображения. Поэтому сейчас часто одномерные и двумерные отображения рассматриваются как упрощенные модели различных процессов. Ознакомьтесь так же:

После рассмотрения состояний равновесия перейдем к периодическим движениям, которые, как мы знаем, могут встречаться в системах, описываемых уравнениями

Если наименьшее число, для которого при всяком

то движение называется периодическим движением с периодом Как мы знаем, периодическому движению соответствует замкнутая фазовая траектория на фазовой плоскости х, у, и обратно: всякой замкнутой траектории соответствует бесчисленное множество периодических движений, отличающихся друг от друга выбором начала отсчета времени. Замкнутые фазовые траектории мы уже встречали при рассмотрении консервативных систем, где они всегда образовывали целые континуумы траекторий, вложенных одна в другую (например, траектории вокруг особой точки типа центра). В рассмотренных нами примерах автоколебательных систем (генератор с -характеристикой, часы; см. гл. III, §§ 3-5) периодическому движению на фазовой плоскости соответствовала изолированная замкнутая кривая, к которой с внешней и внутренней сторон приближались (при возрастании соседние траектории по спиралям. Такие изолированные замкнутые траектории носят название предельных циклов. Простые примеры позволяют убедиться, что и системы вида (5.1) с аналитическими правыми частями, вообще говоря, допускают в качестве траекторий предельные циклы.

Мы будем называть предельный цикл устойчивым, если существует такая область на фазовой плоскости, содержащая этот предельный цикл, - окрестность что все фазовые траектории, начинающиеся в окрестности асимптотически при приближаются к предельному циклу.

Если же, наоборот, в любэй сколь угодно малой окрестности предельного цикла существует хотя бы одна фазовая траектория, не приближающаяся к предельному циклу при то такой предельный цикл будем называть неустойчивым. Для иллюстрации сказанного на рис. 240 изображен устойчивый предельный цикл, а на рис. 241 и 242 - неустойчивые предельные циклы. Заметим, что неустойчивые циклы, подобные изображенному на рис. 242, такие, что все траектории с одной стороны (например, извне) приближаются к ним, а с другой стороны (например, изнутри) удаляются от них при иногда называют «полуустойчи-выми» или двойными (последнее название обусловлено тем, что обычно такие циклы при подходящем изменении параметра системы расщепляются на два, один из которых устойчив, а другой неустойчив).

Наряду с устойчивостью предельного цикла как траектории, определение которой было только что дано (ее часто называют орбитной устойчивостью), можно говорить об устойчивости в смысле

Ляпунова периодического движения, соответствующего предельному циклу. Именно, периодическое движение периодом так что называется устойчивым в смысле Ляпунова, если для каждого заданного положительного можно подыскать такое положительное 8, что для любого другого движения удовлетворяющего условиям

выполняются неравенства:

при любых Ниже мы будем пользоваться главным образом понятием орбитной устойчивости предельного цикла.

Устойчивость предельного цикла (равно как и устойчивость в смысле Ляпунова соответствующих периодических движений) определяется знаком его «характеристического показателям

где любое периодическое решение, соответствующее рассматриваемому предельному циклу, и период решения. Именно, предельный цикл устойчив при и неустойчив при (значению соответствуют как устойчивые, так и неустойчивые предельные циклы).

Для исследования устойчивости периодического движения в смысле Ляпунова можно, как показал Ляпунов, идти по пути линеаризации уравнений, подобно тому, как мы это делали при исследовании устойчивости состояний равновесия. Если положить подставить эти выражения в уравнения (5.1), разложить правые части этих уравнений - функции в ряды по степеням и отбросить нелинейные члены, то мы получим линейные уравнения («уравнения первого приближения») для координат «возмущения» и :

Это - система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами периода (ибо суть функции от периодических функций времени с периодом Общий вид ее решения таков:

где - некоторые периодические функции (с периодом От показателей которые носят название «характеристических показателей», зависит характер решений для и именно, знаки их действительных частей определяют, являются ли эти решения нарастающими или затухающими.

В рассматриваемой задаче (в силу автономности исходной системы уравнений (5.1)) один из характеристических показателей равен нулю, а другой равен Знак этого показателя определяет, устойчиво ли движение , именно: периодическое движение устойчиво в смысле Ляпунова (правда, не абсолютно, так как возмущения по фазе не затухают), если и неустойчиво, если если же то уравнения первого приближения не решают вопроса об устойчивости периодического движения.

Прежде чем переходить к доказательству сформулированного условия устойчивости предельного цикла, мы остановимся, забегая по некоторым пунктам немного вперед, на принципиальном вопросе о физической интерпретации изолированных замкнутых траекторий - предельных циклов.

Если мы потребуем, чтобы в реальных физических системах качественный характер возможных движений сохранялся при произвольных малых изменениях самих систем (на языке математики - при произвольных малых изменениях правых частей системы (5.1)), то, как это мы увидим в дальнейшем, мы этим запретим существование неизолированных замкнутых кривых. В системах, удовлетворяющих этому требованию устойчивости качественного характера движений при малых изменениях динамической системы, - в так называемых «грубых» системах, - могут быть только изолированные замкнутые траектории (только предельные циклы) и притом обязательно с характеристическим показателем, отличным от нуля (поэтому орбитная устойчивость предельного цикла влечет за собой устойчивость по Ляпунову всех соответствующих ему периодических движений).

С физической точки зрения представляет интерес следующее замечание, которое можно сделать относительно движений, отображаемых устойчивым предельным циклом. Именно, можно сказать, что для таких движений период и «амплитуда» не зависят от начальных условий в том смысле, что все соседние движения (соответствующие целой области начальных значений - так называемой области устойчивости в большом) асимптотически приближаются к периодическому движению по предельному циклу, которое имеет определенный период и определенную «амплитуду».

Вышеприведенные свойства периодических движений, отображаемых предельными циклами с отрицательными характеристическими показателями: а) устойчивость по отношению к малым изменениям самой системы; б) независимость (в указанном смысле) периода и «амплитуды» от начальных условий - составляют характерную черту реальных автоколебательных процессов.

Конкретное исследование уравнений вида (5.1), с которыми пришлось иметь дело в различных случаях автоколебаний, также показало на ряде примеров, что если уравнения (5.1) с достаточной точностью отображают законы движения реальной автоколебательной

системы, то они обязательно имеют предельные циклы с отрицательным характеристическим показателем, и что стационарные периодичёские процессы действительно отображаются этими предельными циклами.

Отсюда мы делаем такой вывод: реальные автоколебательные процессы, устанавливающиеся в системах, достаточно точно отображаемых уравнениями (5.1), математически соответствуют предельным циклам с отрицательным характеристическим показателем. Наличие таких предельных циклов в фазовом портрете рассматриваемой динамической системы является необходимым и достаточным условием для возможности (при надлежащих начальных условиях) существования автоколебаний в системе, т. е. для того, чтобы, система была автоколебательной .

Неустойчивый предельный цикл, имеющий положительный характеристический показатель, само собой разумеется, также может содержаться в фазовом портрете «грубых» систем. Однако такой предельный цикл не соответствует реальному периодическому процессу; он играет лишь роль «водораздела», по обе стороны от которого траектории имеют различное поведение. Ясно, что это обстоятельство также имеет существенный физический интерес. Например, наличие неустойчивого цикла дает объяснение так называемого «жесткого» режима, при котором малые начальные отклонения в системе затухают, а большие, наоборот, нарастают.

Которой нет других периодических траекторий. Эквивалентным является утверждение, что всякая достаточно близкая к предельному циклу траектория стремится к нему либо в прямом, либо в обратном времени.

Катастрофа голубого неба

Однако, на бутылке Клейна или при рассмотрении комплексифицированных предельных циклов, возможна и более сложная бифуркация - так называемая катастрофа голубого неба . А именно, при стремлении параметра к критическому значению длина (одного!) предельного цикла начинает нарастать, стремясь к бесконечности, и поэтому он не продолжается на сам момент бифуркации.

Физический пример: осциллятор Ван дер Поля

• Van der Pol oscillator в Scholarpedia.

16-я проблема Гильберта

Вторая часть 16-й проблемы Гильберта касается возможного количества и расположения предельных циклов векторных полей на плоскости. В отличие от первой - алгебраической - части, требующей описать расположение овалов алгебраической кривой заданной степени, даже для квадратичных векторных полей неизвестно существование равномерной оценки сверху на число предельных циклов.

См. также

• Гипотеза Аносова

Литература

• А. Б. Каток, Б. Хасселблат Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. - М .: МЦНМО, 2005. - 464 с. - ISBN 5-94057-063-1
• Ю. С. Ильяшенко, Динамические системы и философия общности положения, М.:МЦНМО, 2007, ISBN 978-5-94057-353-1
• Yu. Ilyashenko, Centennial history of Hilbert 16th problem, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 301-354

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Предельные монокарбоновые кислоты
• Предзародышевое развитие

Смотреть что такое "Предельный цикл" в других словарях:

ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ - замкнутая изолированная траектория в фазовом пространстве динамич. системы, изображающая периодич. движение. В окрестности П. ц. фазовые траектории либо удаляются от него (неустойчивый П. ц.), либо неограниченно приближаются к нему «наматываются» … Физическая энциклопедия

предельный цикл - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN limit cyclelimiting cycle … Справочник технического переводчика

Предельный цикл - системы дифференциальный уравнений 2 го порядка замкнутая траектория в фазовом пространстве xOy, обладающая тем свойством, что все траектории, начинающиеся в достаточно узкой кольцеобразной ее окрестности, неограниченно… … Большая советская энциклопедия

ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ - замкнутая траектория в фазовом пространстве автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, к рая является a или w предельным множеством (см. Предельное множество траектории) хотя бы для одной другой траектории этой системы. П. ц. наз … Математическая энциклопедия

предельный цикл - ribinis ciklas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. limit cycle vok. Grenzschwingung, f; Grenzzyklus, m rus. предельный цикл, m pranc. cycle limite, m … Automatikos terminų žodynas

Экономический словарь

предельная петля гистерезиса - предельный цикл гистерезиса; предельная петля гистерезиса Наибольший по площади цикл гистерезиса магнитного материала … Политехнический терминологический толковый словарь